have a lot onone's plateは、お皿の上にたくさんのっているという意味が転じ、仕事や対処することがたくさんあって忙しいというニュアンス。very very busyという状態なため、自分はもういっぱいいっぱいだから対応できない、これ以上引き受けられない、という印象を相手に与え、できない理由や断る理由によく使われる表現。

have too much on my plate、have enough on one's plate とも言う。
haveをhave gotにし、I've got a lot on my plate. と言うこともある。